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作者：本質(zhì)教育魏旭東

本質(zhì)教育高考數(shù)學破題解析開課啦?。?！

每周一、三、五更新新篇，將會從18年高考開始，致力于用三招將高考數(shù)學中具有代表性的題逐個擊破。

本質(zhì)教育高中數(shù)學致力于培養(yǎng)學生的思維方式，提供思維能力，打破固有的刷題和死記硬背模式，讓學生沖刺高考數(shù)學的140+。

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數(shù)學三招：翻譯、特殊化、盯住目標

翻譯：我們遇到中文的時候，往往需要把它們“翻譯”為數(shù)學的語言。大家常常聽到的“數(shù)形結(jié)合”實際上就是“翻譯”的一種，借助于直角坐標，幾何可以“翻譯”為代數(shù)，代數(shù)也可以“翻譯”為幾何。

特殊化：簡單來說，就是用具體的簡單數(shù)字代替變量（更進一步，研究題目前提/該條件的必要條件）。我們一般從最特殊、最極端的例子開始。常用于將抽象難以理解的題目特殊化為具體的例子來幫助我們真正理解題目，理解每一個已知數(shù)、條件的作用。我們有時需要借助特殊化的結(jié)論，有時則可以利用其方法。

盯住目標：即根據(jù)題目，試著聯(lián)想相關(guān)的定理、定義、方法，并運用之，試著把已知，條件（前提）和目標聯(lián)系起來，不斷地通過置換目標來改造題目。任何一道題目都是在已知（前提）和未知（結(jié)論）之間構(gòu)建橋梁，問問自己，我們還有什么已知但沒有使用嗎？

三招的概念雖然簡單易懂，但是如果要熟練運用，難度還是很大的，所以，也就有了我們本質(zhì)教育高中數(shù)學

2018.12.10更新

（過于簡單的題目不再贅述，這里我們只選取稍微凸顯思考的題）

2017全國Ⅰ卷

試卷第19題

為了抽檢某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，實驗員每天從該生產(chǎn)線上隨機抽取16個零件，并測量其尺寸（單位： $cm$ ）.根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗，可以認為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布 $N(\mu,\sigma^2)$ .

（1）假設生產(chǎn)狀態(tài)正常，記 $X$ 表示一天內(nèi)抽取的16個零件中其尺寸在 $(\mu-3\sigma,\mu+3\sigma)$ 之外的零件數(shù)，求 $P(X\geq1)$ 及 $X$ 的數(shù)學期望；

（2）一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在 $(\mu-3\sigma,\mu+3\sigma)$ 之外的零件，就認為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查．

（I）試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性；

（II）下面是檢驗員在一天內(nèi)抽取的16個零件的尺寸：

9.95??10.12?9.96??9.96

10.01?9.92??9.98??10.04

10.26?9.91? 10.13 10.02

9.22?10.04? 10.05??9.9

經(jīng)計算得 $\bar{x}=\sum_{i=1}^{16}{x_i}=9.97$ ， $s=\sqrt{\frac{1}{16}\sum_{x_i}^{16}{(x_i-\bar{x})^2}}$

$=\sqrt{\frac{1}{16}\sum_{x_i}^{16}{(x_i^2-16\bar{x}^2)}}\approx0.212$ ，其中 $x_i$ 為抽取的第 $i$ 個零件的尺寸，

$i=1,2,……,16$

用樣本平均數(shù) $\bar{x}$ 作為 $\mu$ 的估計值 $\tilde{\mu}$ ，用樣本標準差 $s$ 作為 $\sigma$ 的估計值 $\tilde{\sigma}$ ，利用估計值判斷是否需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查，剔除 $(\mu-3\sigma,\mu+3\sigma)$ 之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計 $\mu$ 和 $\sigma$ （精確到0.01）。

附：若隨機變量 $Z$ 服從正態(tài)分布 $N(\mu,\sigma)$ ，則 $P(\mu-3\sigma<Z<\mu+3\sigma)=0.9974$

$0.9974^{16}\approx0.9592,\sqrt{0.008}\approx0.09$ .

（這題是高考里算是很難的一道概率題目了，這題要求對正態(tài)分布的定義掌握透徹，如果對各類分布和各種字母不熟悉的同學請利用費曼學習法，鞏固基礎知識。）

三招破題

（1）盯住目標：求 $P(X\geq1)$ 及 $X$ 的數(shù)學期望，我們看，顯然 $X$ 可以從0取到16，即它是小概率事件，但是它仍有可能發(fā)生。并且顯然 $X$ 服從二項分布（注意與尺寸符合正態(tài)分布區(qū)分開來，如果不懂的同學請復習分布模型）所以我們?nèi)绻苯佑嬎?img src="http://www.zhihu.com/equation?tex=P%28X%5Cgeq1%29" alt="P(X\geq1)" />，需要從1算到16，非常繁瑣。

那怎么辦，從0取到16呀朋友們，我計算0的，然后用1減去這個東西，是不是就得到我們的 $P(X\geq1)$ 。

題目已經(jīng)把在 $(\mu-3\sigma,\mu+3\sigma)$ 里的概率寫出來了（通常考試都會給出正態(tài)分布的各種數(shù)據(jù)，所以同學們看到這個要覺得高興呀），那么不在這個范圍0里的概率顯然是0.0026

故 $P(X=0)=C_{16}^{0}(1-0.9974)^00.9974^{16}\approx0.9592$

（這些計算同學們其實是可以口算的，題目附注里都已經(jīng)把復雜的數(shù)據(jù)告訴我們了）

故 $P(X\geq1)=1-P(X=0)=0.0408$

因為 $X\sim B(16,0.0026)$ ，故 $EX=16\times 0.0026=0.0416$

（2）（Ⅰ）

盯住目標：說明監(jiān)控方法的合理性，怎么說明，我們聯(lián)想，監(jiān)控方法是只要零件尺寸出現(xiàn)在 $(\mu-3\sigma,\mu+3\sigma)$ 外，我們就會檢查生產(chǎn)流程，我為什么檢查，因為出錯了嘛，剛才我們第一問都寫出來了，出錯的概率的非常之小，那么只要你出錯了，很有可能就是生產(chǎn)過程出毛病了嘛，很簡單對吧。

同學們組織語言利用概率回答即可。

（Ⅱ）

盯住目標：首先要判斷是否需要檢查生產(chǎn)流程。那結(jié)合我們剛才的第二問，是不是需要判斷這16個零件尺寸是否有出現(xiàn)在 $(\mu-3\sigma,\mu+3\sigma)$ 外的。

那么我們就需要確定 $\mu$ 和 $\sigma$ 的值，從而確定范圍。

翻譯：用樣本平均數(shù) $\bar{x}$ 作為 $\mu$ 的估計值 $\tilde{\mu}$ ，用樣本標準差 $s$ 作為 $\sigma$ 的估計值 $\tilde{\sigma}$ （這些值題目已經(jīng)全部告訴你了），故

$\mu-3\sigma=9.97-3\times 0.212=9.334，\mu+3\sigma=9.97+3\times 0.212=10.606$

所以我們的范圍是 $(9.334,10.606)$

顯然，9.22這個數(shù)據(jù)不在這個范圍里面，所以我們需要檢查。

OK，剔除9.22， $\mu=\frac{9.77\times 16-9.22}{15}=10.02$ .（注意計算技巧哈）

接下來 $\sigma$ 小編就不寫出具體過程了哈，就是方差的運算，給你送分的。（小編教你們一個小技巧，題目附注里有 $\sqrt{0.008}\approx0.09$ ，注意，我們其余數(shù)據(jù)都用上了，就差這個了對吧，題目不可能白給你數(shù)據(jù)，我們算 $\sigma^2$ ，目標顯然是需要開根號的，所以，這個0.008顯然是 $\sigma^2$ 的結(jié)果）

$\sigma^2=……\approx0.008$

故 $\sigma\approx0.09$ .

（最終這個看似挺難的題目我們其實只要掌握好基礎知識，其實還是送分的）

歡迎關(guān)注我們的連載，學習數(shù)學三招的思維

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