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作者：本質教育魏旭東

本質教育高考數學破題解析開課啦?。?！

每周一、三、五更新新篇，將會從18年高考開始，致力于用三招將高考數學中具有代表性的題逐個擊破。

本質教育高中數學致力于培養(yǎng)學生的思維方式，提供思維能力，打破固有的刷題和死記硬背模式，讓學生沖刺高考數學的140+。

數學三招：翻譯、特殊化、盯住目標

翻譯：我們遇到中文的時候，往往需要把它們“翻譯”為數學的語言。大家常常聽到的“數形結合”實際上就是“翻譯”的一種，借助于直角坐標，幾何可以“翻譯”為代數，代數也可以“翻譯”為幾何。

特殊化：簡單來說，就是用具體的簡單數字代替變量（更進一步，研究題目前提/該條件的必要條件）。我們一般從最特殊、最極端的例子開始。常用于將抽象難以理解的題目特殊化為具體的例子來幫助我們真正理解題目，理解每一個已知數、條件的作用。我們有時需要借助特殊化的結論，有時則可以利用其方法。

盯住目標：即根據題目，試著聯想相關的定理、定義、方法，并運用之，試著把已知，條件（前提）和目標聯系起來，不斷地通過置換目標來改造題目。任何一道題目都是在已知（前提）和未知（結論）之間構建橋梁，問問自己，我們還有什么已知但沒有使用嗎？

三招的概念雖然簡單易懂，但是如果要熟練運用，難度還是很大的，所以，也就有了我們本質教育高中數學

2018.12.12更新

（過于簡單的題目不再贅述，這里我們只選取稍微凸顯思考的題）

2017全國Ⅰ卷

試卷第20題

已知橢圓 $C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ ，四點 $P_1(1,1)$ ， $P_2(0,1)$ ， $P_3(-1,\frac{\sqrt{3}}{2})$ , $P_4(1,\frac{\sqrt{3}}{2})$ 中恰有三點在橢圓上.

（1）求 $C$ 的方程；

（2）設直線 $l$ 不經過 $P_2$ 點且與 $C$ 相交于 $A、B$ 兩點，若直線 $P_2A$ 與直線 $P_2B$ 的斜率的和為 $-1$ ，證明： $l$ 過定點.

三招破題

（1）翻譯：四點中有三點在橢圓上，顯然，由于橢圓的對稱性， $P_3、P_4$ 關于 $y$ 軸對稱，那么只要其中某個點在橢圓上，另一個也必然在，而結合題目說的恰有三點在橢圓上，所以 $P_3、P_4$ 必然均在橢圓上；

那么還剩兩個點，你發(fā)現橫坐標為1這個東西有兩個點了，那么其中一個在橢圓上，另一個必然不在，故 $P_1$ 不在橢圓上。

盯住目標：求橢圓方程，那么關鍵是 $a、b$ ，顯然通過三個在橢圓上的點中的任意兩個代入方程即可求出來，那么這里不再贅述。

答案為： $C:\frac{x^2}{4}+y^2=1$

（2）翻譯：設直線 $l$ 不經過 $P_2$ 點且與 $C$ 相交于 $A、B$ 兩點，若直線 $P_2A$ 與直線 $P_2B$ 的斜率的和為 $-1$ 那么是不是把這句話用數學語言表示出來呀。

設出 $l$ 的方程，然后與橢圓方程聯立并設出 $A、B$ 兩點坐標對吧，然后用坐標表示斜率和為 $-1$

①當 $l$ 斜率不存在時，設 $l:x=m$ ， $A(m,y_A)$ ，則 $B(m,-y_A)$ ，則

$k_{Ap_2}+k_{Bp_2}=\frac{y_A-1}{m}+\frac{-y_A-1}{m}=\frac{-2}{m}=-1$ ，故 $m=2$ ，

所以此時 $l$ 恒過橢圓的右頂點 $(2,0)$ ，但是此時就不符合題意了，此時直線與橢圓只有一個交點，故斜率必然存在；

②當 $l$ 斜率存在時，設 $l:y=kx+t(t\ne 1)$ ， $A(x_1,y_1)，B(x_2,y_2)$

顯然，接下來我們就是聯立，運用韋達定理化簡了，都很模式化的東西了。

聯立和韋達定理的過程這里就不再贅述了，其實這個解析幾何的題還是很簡單的。

$k_{Ap_2}+k_{Bp_2}=\frac{y_1-1}{x_1}+\frac{y_2-1}{x_2}=\frac{1+4k^2}{\frac{4t^2-4}{1+4k^2}}=\frac{8k(t-1)}{4(t+1)(t-1)}=-1$

又因為 $t\ne 1$ （這個條件是因為直線 $l$ 不經過 $P_2$ 點）

則 $t=-2k-1$ ，此時 $\Delta =-64k$ ，即存在 $k$ 使得判別式大于0成立，故符合題意。

故 $l:y=kx-2k-1$ ，那么我們接下來的目標就是證明這個方程過定點。

顯然當 $x=2$ 時， $y=-1$ ，

所以，直線恒過 $(2,-1)$ .

(各位，解析幾何的12分我希望你們細心一點，穩(wěn)穩(wěn)拿到手)

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