數(shù)學(xué)三招，招招破高考（每周一、三、五更新新篇）18.12.14

作者：本質(zhì)教育 魏旭東

本質(zhì)教育高考數(shù)學(xué)破題解析開課啦?。?！

每周一、三、五更新新篇，將會從18年高考開始，致力于用三招將高考數(shù)學(xué)中具有代表性的題逐個擊破。

本質(zhì)教育高中數(shù)學(xué)致力于培養(yǎng)學(xué)生的思維方式，提供思維能力，打破固有的刷題和死記硬背模式，讓學(xué)生沖刺高考數(shù)學(xué)的140+。

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數(shù)學(xué)三招：翻譯、特殊化、盯住目標(biāo)

翻譯：我們遇到中文的時候，往往需要把它們“翻譯”為數(shù)學(xué)的語言。大家常 常聽到的“數(shù)形結(jié)合”實際上就是“翻譯”的一種，借助于直角坐標(biāo)，幾何可以“翻譯”為代數(shù)，代數(shù)也可以“翻譯”為幾何。

特殊化：簡單來說，就是用具體的簡單數(shù)字代替變量（更進一步，研究題目前提/該條件的必要條件）。我們一般從最特殊、最極端的例子開始。常用于將抽象難以理解的題目特殊化為具體的例子來幫助我們真正理解題目，理解每一個已知數(shù)、條件的作用。我們有時需要借助特殊化的結(jié)論，有時則可以利用其方法。

盯住目標(biāo)：即根據(jù)題目，試著聯(lián)想相關(guān)的定理、定義、方法，并運用之，試著把已知，條件（前提）和目標(biāo)聯(lián)系起來，不斷地通過置換目標(biāo)來改造題目。任何一道題目都是在已知（前提）和未知（結(jié)論）之間構(gòu)建橋梁，問問自己，我們還有什么已知但沒有使用嗎？

三招的概念雖然簡單易懂，但是如果要熟練運用，難度還是很大的，所以，也就有了我們本質(zhì)教育高中數(shù)學(xué)

 

2018.12.14更新

 

（過于簡單的題目不再贅述，這里我們只選取稍微凸顯思考的題）

 

 

2017全國Ⅰ卷

試卷第21題

已知函數(shù) f(x)=e^{2x}+(a-2)e^x-x .

（1）討論f(x)的單調(diào)性；

（2）若f(x)有兩個零點，求 a 的取值范圍。

 

 

三招破題

一個很典型很常規(guī)的導(dǎo)數(shù)題了，我們用三招一步步分析即可

（1）盯住目標(biāo)：討論函數(shù)單調(diào)性，討論這個詞就很有意思了，顯然函數(shù)里含有未知數(shù)，需要討論未知數(shù)來確定導(dǎo)函數(shù)，從而確定單調(diào)性。

f'(x)=2ae^{2x}+(a-2)e^x-1=(ae^x-1)(2e^x+1)

顯然第二個括號是大于0的，那么我們只需要把注意力集中在第一個括號。

 

接下來怎么討論呢，我們的目標(biāo)是判斷導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，那么顯然如果 a 是非正數(shù)，那么第一個括號也負(fù)了。

① a\leq0 時， f'(x)<0 恒成立，此時 f(x) 在 R 上單調(diào)遞減。

 

那么接下來是不是還有 a 為正。

② a>0 時，令 f'(x)>0 ，得到 x>-lna ，此時函數(shù)單調(diào)增，

同理令 f'(x)<0 ，得到 x<-lna ，此時單調(diào)減。

故綜上：當(dāng) a\leq0 時， f(x) 在 R 上單調(diào)遞減；

當(dāng) a>0 時， f(x) 在 （-∞,-lna） 單調(diào)遞減，在 (-lna,+∞) 單調(diào)遞增。

 

（2）翻譯：f(x)有兩個零點，那我們就把這句簡單的文字，翻譯成數(shù)學(xué)語言咯。

那么接下來你會發(fā)現(xiàn)，由于 a 是未知的，所以其存在兩個零點我們也需要討論 a 。

我們先把第一問的結(jié)論當(dāng)作已知來用試試看有沒有什么發(fā)現(xiàn)。

 

由（1）知：當(dāng) a\leq0 時， f(x) 在 R 上單調(diào)遞減，則此時函數(shù)不可能有兩個零點，不符合題意；

故必然 a>0 ， f(x) 在 （-∞,-lna） 單調(diào)遞減，在 (-lna,+∞) 單調(diào)遞增。

那么要想存在兩個零點，腦子里面呈現(xiàn)一個大致圖像，

但是注意：我們畫圖的時候默認(rèn)了一個東西，就是當(dāng) x 趨近正負(fù)無窮的時候，函數(shù)值都大于0

我們還必須要檢驗一下這個東西，如果不符合我們的大致圖像，那這個題就很復(fù)雜需要更多的討論了。

x\rightarrow-∞ 時， e^{2x},e^x\rightarrow0 ，則顯然此時 f(x)\rightarrow+∞ ；

x\rightarrow+∞ 時， e^{2x}\rightarrow+∞ ，并且由于指數(shù)倍的增長，其遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于 e^x，x ，

故此時 f(x)\rightarrow+∞ .

 

那顯然，我們的大致圖像符合題意，那么這個題并不難，所以要有兩個零點，函數(shù)的最小值在 x 軸下方即可。

用式子來表示即： f(-lna)<0

 

那么顯然，我們的目標(biāo)是求 a 的范圍，那么自然而然，即解上面的不等式。

1-\frac{1}{a}+lna<0 ，顯然這個不等式不能直接解，還是需要利用函數(shù)，目標(biāo)是求 a 的范圍，使得在這個范圍里，該函數(shù)小于0.

設(shè) g(a)=1-\frac{1}{a}+lna ，則 g'(a)=\frac{1}{a}+\frac{1}{a^2} ，

 

那么接下來和這個題第一問一樣的東西啦，判斷導(dǎo)函數(shù)正負(fù)。

因為 a>0 ，故 g'(a)>0 恒成立，故 g(a) 在 (0,+∞) 單調(diào)遞增，

所以我們要找到一個零點即可，

不難發(fā)現(xiàn)， a=1 很特殊，代入發(fā)現(xiàn) g(1)=0 ，

故要使不等式成立，只需0<a<1 ，

綜上，答案為0<a<1 .

 

 

（這個題的參考答案很復(fù)雜，但是其實只要知道指數(shù)爆炸增長，其實這個題沒必要這么復(fù)雜，這個題我們這樣做邏輯上行得通的）

 

 

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